高中数学题,花都开好了阅读答案

发布时间：2019-09-17

不会

c

设函数f(x)=ln(1+x)，g(x)=xf’(x)(x>=0)
(1)g1(x)=g(x)，g(n+1)(x)=g(gn(x))(n∈N),求gn(x)的表达式；
(2)若f(x)>=ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(3)设n∈N+，比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小，并加以证明．
(1)解析：∵函数f(x)=ln(1+x)，g(x)=xf’(x)(x>=0)
∴g(x)=x/(x+1) (x>=0)
∵g(n+1)(x)=g(gn(x))(n∈N)
∴g1(x)=x/(x+1)，g2(x)=g(g1(x))=[x/(x+1)]/{1+[x/(x+1)]}=x/(1+2x)
g3(x)=g(g2(x))=x/(1+3x)
……
猜想gn(x)=x/(1+nx)
用归纳法证明：
当n=1时，g1(x)=x/(x+1)，
假设当n=k时结论成立，即gk(x)=x/(1+kx)
当n=k+1时，g(k+1)(x)=g(gk(x))= gk(x)/[1+ gk(x)]=[x/(1+kx)]/[1+x/(1+kx)]
=x/[1+(k+1)x]
综上，gn(x)=x/(1+nx)对n∈N*成立；

（2）解析：∵f(x)>=ag(x)恒成立
ln(x+1)>=ax/(x+1) (x>=0)恒成立
令h(x)= ln(x+1)-ax/(x+1)
∴h’(x)=1/(x+1)-a/(x+1)^2=(x+1-a)/(x+1)^2
当a<=1时，h’(x)>=0，∴h(x)在区间(0,+∞)上单调增；
∵h(0)=0
∴h(x)>=0
∴当a<=1时，f(x)>=ag(x)恒成立（仅当x=0时等号成立）
当a>1时，x+1-a<0==>x<a-1
∴x∈(0,a-1]时，h’(x)<0，单调减；
∵h(0)=0
∴h(x)<0,==> f(x)>=ag(x)不成立
∴实数a的取值范围是(-∞,1]
(3)证明：∵g(x)=x/(x+1) (x>=0)
∴g(1)+g(2)+穿憨扁窖壮忌憋媳铂颅…+g(n)=1/2+2/3+3/4+……+n/(n+1)（n∈N*）
=(1-1/2)+(1-1/3)+(1-1/4)+….+[1-1/(n+1)]
=n-(1/2+1/3+1/4+….+1/(n+1))
n-f(n)=n-ln(n+1)（n∈N*）
由（2）知当a<=1时，f(x)>=ag(x)恒成立
令a=1,x=1/n
∴ln[(n+1)/n]>1/(n+1)
n=1时，有ln[2/1]>1/2==>ln2-ln1>1/2；
n=2时，有ln[3/2]>1/3==>ln3-ln2>1/3；
……..
n=n时，有ln(n+1)-lnn>1/(n+1)
两边分别为相加：
Ln(n+1)>1/2+1/3+1/4+….1/(n+1)
∴g(1)+g(2)+…+g(n)>n-f(n).

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4)上的交点个数
先找到最极端的情况,4)上只有一个交点
a＞lg2/e
同时,1)上必有一个交点
下面考虑(1，此时a=lge/ln10=lge；此时y1是一条上升的直线
同时，令它经过原点，则y2与y1在(0,lgx0),1]上的图像是从正无穷到0单调递减;(x0ln10)·(-x0)
lgx0=1/,x0=e
故切点坐标为(e，否则y2与y1在(1，y1=abs(lgx)在(0，有-lgx0=1/，切线方程为
y-lgx0=1/，y2与y1相切，设切于点(x0，须有y2(x=4)=4a＞y1(x=4)=lg4=2lg2,y=0带入，切线斜率为1/2＜a＜lge/e
若a≥lge/可以看作y1=abs(lgx)与y2=ax的图像在(0,lge),4)上与y1便有不多于一个交点
故a＜lge/，否则一个交点也没有，则y2在(1;(x0ln10)，将x=0;e;(x0ln10)·(x-x0);e，lg2/2
综上,4)上有3个交点
显然a＞0

不会，不过你可以下学霸君

设函数f(x)=ln(1+x)，g(x)=xf’(x)(x>=0) (1)g1(x)=g(x)，g(n+1)(x)=g(gn(x))(n∈N),求gn(x)的表达式； (2)若f(x)>=ag(x)恒成立，求实数a的取值范围； (3)设n∈N+，比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小，并加以证明． (1)解析：∵函数f(x)=ln(1+x)，...

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