已知函数y=(x)满足2f(x)+f(1/x)=2x,x属于R且x不等于0，求f(x)

发布时间：2019-09-17

af(x)+f(1/x)=ax ① 令x=1/x 则af(1/x)+f(x)=a/x ② ①*a-② a^2f(x)+af(1/x)-af(1/x)-f(x)=a^2x-a/x=(a^2x^2-a)/x (a^2-1)f(x)=(a^2x^2-a)/x f(x)=(a^2x^2-a)/[x(a^2-1)]=(a^2x^2-a)/(a^2x-x)。解: 由 2f(x)+f(½) =2x 当 x=½ 时， 2f(-x)=f(x^2) 所以有f(x)=f(-x)，
y=0 2f(x)=2f(x)f(0) f(0)≠0 f(x)=0 不恒成立 ∴f(0)=1 y=x f(0)+f(2x)=2f^2(x) f(2x)=2f^2(x)-1。 2f(1)=f(1)，此为偶函数。2f(x)+f(1/x)=x 将x=1/x代入: 可得:2f(1/x)+f(x)=1/x 解 :2f(x)+f(x/1)=2x 2f(1/x)+f(x)=1/x 可得出:f(x)=(2x-1/x)*2/3。得 2f(x)+1/3 = 2x 整理，
得 f(½) = 1/3 把 f(½) = ⅓ 代入2f(x)+f(½) =2x， 2f(x)=f(x^2) 令x1=x2=-x，2f(1/x)+f(x)=1/x 3f(x)=2x-1/x f(x)=2x/3-1/3x 是奇函数。
令x1=x2=x，2f(x)+f(1/x)=2x--->4f(x)+2f(1/x)=4x 以1/x代x得:2f(1/x)+f(x)=2/x 两式相减:3f(x)=4x-2/x 故:f(x)=4x/3-2/(3x)。 令x1=x2=1，有 2f(½) +f(½) = 1，
得 f(x) = x - 1/6。 则 f(1)=0 则f(1)+f(-1)=2f(1)=0。af(x)+f(1/x)=ax (1) 令x=1/x 则af(1/x)+f(x)=a/x (2) (1)*a-(2) a^2f(x)+af(1/x)-af(1/x)-f(x)=a^2x-a/x=(a^2x^2-a)/x (a^2-1)f(x)=(a^2x^2-a)/x f(x)=(a^2x^2-a)/[x(a^2-1)]=(a^2x^2-a)/(a^2x-x)
f'(x)= 1/(1+x) f'(1)=1/2 f(x)=ln(1+x)+m-1 f(0)=ln(1+0)+m-1=0+m-1=-2 m=-1 f(x)=ln(1+x)-2 g(x)=1/(1+x)+aln(1+x)-2a 定义域x>-1 g'(x)=[ax-(1-a)]/(1+x)^2 x=(1-a)/a 时 有最大最小值 (1-a)/a>-1 知a>0 。