高中数学，

发布时间：2019-09-17

这个题目真长啊！好好看一下吧
解：
1、f(x)=(ax+b)/(1+x^2)
因为：f(x)是奇函数，
所以：f(0)=b=0，即：f(x)=ax/(1+x^2)。
又因为f(1/2)=2/5
所以：a(1/2)/(1+(1/2)^2)=2/5
即：a(1/2)/(1+1/4)=a(2/5)=2/5
所以：a=1
所以，所求解析式为：f(x)=x/(1+x^2)。

2、设x1＜x2，且x1,x2∈(-1,1)
f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2^2)-x1/(1+x1^2)
=[x2(1+x1^2)-x1(1+x2^2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
显然，上式中分母＞0，我们只需考查分子。
分子=x2+x2(x1^2)-x1-x1(x2^2)
=(x2-x1)-x1x2(x2-x1)
=(x2-x1)(1-x1x2)
因为x1,x2∈(-1,1)，所以x1x2＜1，即：1-x1x2＞0
又因为x1＜x2，所以x2-x1＞0
所以：当x2＞x1时，f(x2)＞f(x1)
即：在(-1,1)定义域内，f(x)是增函数。
3.因为f(x)是奇函数，即：f(-x)=-f(x)
所以不等式变为f(t-1)＜f(-t)
又因为：f(x)=x/(1+x^2)
所以：(t-1)/(1+(t-1)^2)＜-t/(1+t^2)
(t-1)(t^2+1)＜-t((t-1)^2+1)
t^3-t^2+t-1＜-t^3+2t^2-2t
t^3＜-(t^3-3t^2-3t-1)
t^3＜-(t-1)^3
t＜-(t-1)
所以：t＜1/2。
又因为：对于f(x)，有x∈(-1,1)。
所以：t-1,t∈(-1,1)，即：t∈(0,1)。
所以，不等式的解为：0＜t＜1/2。

满足向量PM·向量PN=0，
向量PQ=向量PM+向量PN

PQ是对角线
∴四边形ANQM是矩形
∴|PQ|=|MN|
向量PQ的模的最小值=MN最小值

∴MN与OP连线垂直是，有最小值
OP斜率=2
∴MN斜率=-1/2
MN:y=-1/2x+b
设MN中点为R
PR=|5-2b|/根号5
OR=根号5+PR
由OR^2+RN^2=ON^2，的关于b的方程|50-20b|=-8b^2+40b+5
所以50-2b=8b^2-40b-5或8b^2-60b+45=0
第一个方程无解 第二个方程取较小解
所以b=（15-根号3）/4
所以PR=（3根号3-根号5）/2
所以PQ=3根号3-根号5

设pm为y=k(x-1)+2
pn为y=（-1/k）(x-1)+2
与圆的方程联立
可求的mn坐标
用坐标表示向量即可求最值

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